Почему Ахиллес догонит черепаху?


Всем известно, что такое софизмы. Это утверждения, которые при всей своей абсурдности имеют неопровержимые, на первый взгляд, доказательства, которые при более детальном рассмотрении обнаруживают в себе ошибку. Любопытно, что даже сейчас не все могут обнаружить подобную ошибку в рассуждениях софистов. Впрочем, софизмами обычно называют рассуждения, специально созданные для того, чтобы ввести людей в заблуждение. Бывало и так, что сам философ не мог понять, где в его рассуждениях ошибка. Подобные высказывания называются апориями. Разгадывать софизмы и апории — одно из увлекательных занятий для пытливого ума, нечто вроде попытки разгадать секрет фокуса иллюзиониста, не говоря уже о том, что подобная тренировка ума, делает человека более бдительным и менее подверженным обману, потому что за поверхностной красивостью и убедительностью слов ему становится легче разгадать ошибку.

Попробуем разгадать одну из самых известных апорий Зенона — парадокс Ахиллеса и черепахи. Итак, вот рассуждения Зенона:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Есть один небольшой момент, о которым Зенон не знал, а древнегреческие математики, такие как Архимед, только догадывались. А конкретно, они не знали, что делать с бесконечностью. Древние греки вообще её побаивались и старались избегать, а более-менее окончательно с ней разобрались только к восемнадцатому веку, когда был создан математический анализ. Поэтому нет ничего удивительного в том, что когда речь заходила о бесконечности, древние философы начинали пасовать перед ней: у них просто не было достаточно глубоких знаний в математике, чтобы разрешить кажущиеся противоречия.

Попробуем разобраться, в чём же тут дело с высоты сегодняшних знаний.

Во-первых, сразу бросается в глаза тот факт, что на каждом этапе время, затрачиваемое Ахиллесом, чтобы пробежать разделяющее его и черепаху расстояние, резко уменьшается. Через несколько этапов оно становится совсем крохотным, практически незаметным, точно также практически незаметным становится расстояние, разделяющее Архимеда и черепаху. Если в начале оно было равно тысяче шагов, то уже через 5 этапов оно будет равно всего одной сотой шага. Есть один тонкий момент, который может быть трудно преодолеть человеку, который до этого мало задумывался о бесконечности: когда мы складываем бесконечное количество таких вот быстро уменьшающихся кусочков, то результат может быть конечным. Покажем это на примере. Возьмём кусок масла и будем отрезать от него кусочки. Допустим, мы сначала отрежем половину, потом половину от оставшейся половины и т.д. Ясно, что кусок масла не является бесконечно делимым. Очень скоро, мы дойдём до размеров молекул и дальше уже делить не сможем, но что нам стоит представить себе, что никаких молекул нет и мы можем делить масло бесконечно? Что мы тогда получим? Мы сможешь бесконечно отрезать половину от кусочка масла и получим таким образом бесконечное количество кусочков, но общее количество отрезанного масла никогда не будет больше количества того масла, что было у нас изначально. Другой пример: нарисуем две параллельные линии на бумаге, теперь между ними нарисуем ещё одну линию, между второй и третьей — ещё одну и т.д. Если бы у нас была бесконечно тонкая ручка, мы могли бы продолжать этот процесс бесконечно, получая бесконечное количество промежутков между линиями, но суммарное расстояние между этими линиями не будет превышать расстояния между первыми двумя прямыми, которые мы нарисовали…

Мы видим, что даже бесконечное количество слагаемых в сумме может давать вполне конечную величину. Не получится ли также с Ахиллесом и черепахой? Интуиция и здравый смысл нам подсказывают, что именно так и получится. Предположим, что первые тысячу шагов Ахиллес пробежит за 10 минут, следующие 100 — за минуту, следующие — за 6 секунд и т.д. Если проссумировать эти промежутки времени, получится 10+1+0,1+0,01+...=11,111111...=11 и одна девятая минуты, точно так же, если проссумировать общее расстояние, которое пробежит Ахиллес, получится 1000+100+10+1+0,1=1111,111111… = 1111 и одна девятая шага. Это именно то время и то расстояние, которое потребуется преодолеть Ахиллесу, чтобы догнать черепаху.

В чём же ошибка Зенона? Зенон не видел разницы между бесконечном количеством этапов, на которые он предложил делить время, за которое Ахиллес догонит черепаху, и бесконечным временем. Для того, чтобы чётко осознать эту разницу, ему бы пришлось знать математику на уровне середины восемнадцатого века. Очевидно, что деление времени на подобные этапы совершенно искусственно и именно эта искусственность создаёт иллюзию парадоксальности. Ахиллес же не будет останавливаться после каждого полушага, чтобы посчитать, какое ему ещё потребуется время, чтобы преодолеть оставшееся расстояние между ним и черепахой. С точки зрения Ахиллеса, он будет приближаться к черепахе с постоянной скоростью, равной разности между скоростью Ахиллеса и черепахи, и нам вовсе необязательно привлекать такие сложные области, как мат. анализ для решения это простейшей задачи уровня третьего класса. Зенон искусственно усложнил эту задачу, а, усложнив, сделал неразрешимой в рамках простейшей арифметики, что дало ему повод объявить несуществование бесконечности и бесконечно делимых вещей. Любопытно, кстати, что, как ни странно, в этом он, как будто, оказался прав. Современная наука, во всяком случае, утверждает, что бесконечно делимых вещей действительно не существует и как расстояние, так и время делятся только до определённого предела так, что существует мельчайшее расстояние и мельчайшее время, меньше которых быть уже не может. Если так, то остаётся удивительным тот факт, что Зенон пришёл к такому выводу, исходя из ошибочных рассуждений, основанных на незнании.
  • 09 января 2013, 18:04

Комментарии (0)

RSS свернуть / развернуть

Оставить комментарий

Ваше имя
Ваш e-mail (не публикуется)
HTML не работает...
Введите цифры и буквы: