Как сосчитать бесконечность?


Все мы знаем, как сосчитать предметы в конечном множестве: множестве книг на полке, множество людей в комнате… Но как быть с бесконечными множествами? Как узнать, где точек больше — на прямой или на плоскости? Каких чисел больше — натуральных, целых, рациональных или действительных? Или, быть может, их одинаковое количество? Интуиция нам подсказывает, что если одно множество содержит другое, то в первом элементов больше. Но когда речь идёт о бесконечности, интуиция часто даёт сбои. На бесконечности может получиться так, что часть равна целому. Простейший пример. Представим себе луч ОА (см. рисунок). На нём содержится бесконечное множество точек. Теперь сместим весь этот луч немного вправо. Получится новый луч O'A. Начало этого луча сместилось относительно начала луча OA, а бесконечный конец совпадает. Каждая точка сместится на одно и то же расстояние, значит, количество точек осталось прежним. С другой стороны, луч OA полностью содержит все точки луча O'A и, кроме того, ещё отрезок OO'. Получается, что луч OA больше чем O'A? Но как одном множество может быть одновременно равно и больше другого?..

С бесконечностью связано множество «парадоксов», т.е. случаев, когда наша интуиция оказывается бессильна. Недаром, один школьник как-то сказал: «Бесконечность — это место, где происходит то, чего не бывает». Но как же разрешить данную конкретную ситуацию? Ясно, что оценивать количество элементов в бесконечных множествах числами уже не получится. Интуитивные представления о том, что одно множество больше, если оно содержит в себе другое, тоже не годятся. Нужно придумать что-то более универсальное. И это нечто получило название мощности множества. Что же такое мощность множества, и как её определить? Для конечных множеств всё просто: мощность — просто число, равное количеству элементов множества. Но как сравнить количества элементов бесконечных множеств? Оказывается, и здесь особых сложностей нет. Нужно взять два множества и попробовать найти соответствие между элементами этих множеств. Если получится найти такое соответствие, что каждому элементу первого множества будет соответствовать элемент второго, а каждому элементу второго — элемент первого, значит, эти множества имеют одну мощность, или, грубо говоря, у них одинаковое количество элементов. Если нам удастся доказать, что как бы мы ни изощрялись, такого соответствия найти не удастся, и в одном из множеств всегда можно найти элементы, для которых не найдётся соответствия в другом множестве, значит, первое множество больше.

На примере конечных множеств всё это выглядит по-детски примитивно. Допустим, у нас есть три чашки и три блюдца. Можно поставить на каждое блюдце по чашке. Получится, что у нас занято каждое блюдце и каждая чашка, таким образом количество блюдец и чашек равно. Если бы у нас было четыре блюдца или четыре чашки вместо трёх, получилось бы, что одно блюдце или одна чашка всегда бы были свободны, а значит, их количества неодинаковы.

Как видите, когда речь идёт о конечных множествах, всё очень примитивно, буквально на уровне детского сада. Но когда мы переходим к бесконечным множествам, всё становится намного сложнее и интересней. Дело в том, что для конечных множеств результат не будет зависеть от того, каким образом мы будем искать соответствия между элементами множеств. Нам всё равно, на какое блюдце какую чашку мы поставим: если чашек и блюдец будет одинаковое количество, как бы мы их ни расставляли, на каждую чашку придётся ровно одно блюдце, а на каждое блюдце — одна чашка. Но если представить себе, что чашек и блюдец будет бесконечное количество, то может получится так, что при одном способе расстановки, все блюдца заняты, а чашки ещё остались, а при другом — наоборот. Важно найти хотя бы одно взаимно однозначное соответствие, если оно существует, а если не существует, показать, что для любого, произвольно выбранного соответствия в одном из множеств будут существовать лишние элементы.

Любопытно, что таким образом выяснили много интересных фактов. Например, что целых чисел ровно столько же, сколько и натуральных. И даже больше: рациональных чисел столько же, сколько и натуральных, а вот действительных уже больше.

Мощность множества натуральных чисел ещё называется мощностью счётного множества, а все множества такой мощности — счётными множествами. Это минимальная мощность, которой может обладать бесконечное множество. Все множества большей мощности называются несчётными. В чём причина такому названию? Дело в том, что элементы счётных множеств можно, как бы, сосчитать. Вы спросите, как же сосчитать бесконечное количество. Разумеется, обычным способом это сделать не получится, поскольку нам не хватит на это всей жизни. Но здесь нам вновь поможет аналогия. Вспомним, как мы считаем обычные предметы: тыкаем в каждый предмет пальцем и говорим про себя: «Раз, два, три...» Таким образом мы каждому предмету сопоставляем какое-то натуральное число, а общее число предметов будет равно последнему числу, которое мы назовём. Аналогичным образом можно действовать и для счётных множеств: мы можем каждому элементу счётного множества сопоставить какое-то натуральное число, таким образом все элементы будут пронумерованы. При этом нам не нужно нумеровать каждый элемент в отдельности, нам только нужно придумать способ, как произвольному элементу множества сопоставить свой уникальный номер. Если мы найдём такой способ, то можно сказать, что мы пронумеровали все элементы этого множества или, по-другому говоря, «сосчитали» их. В этом и есть смысл названия «счётное множество».

Несчётные множества, в отличие от счётных, как следует их самого названия, нельзя «сосчитать», т.е. нельзя каждому элементу такого множества присвоить свой уникальный номер — всего бесконечного ряда натуральных чисел на это не хватит! Такие множества тоже существуют. Доказано, например, что множество действительных чисел несчётно. Открытым остался вопрос, существует ли какое-то множество, мощность которого больше мощности множества натуральных чисел и меньше мощности множества действительных чисел. Оказывается, в рамках теории множеств, существование такого множества нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
  • 25 декабря 2012, 18:58

Комментарии (0)

RSS свернуть / развернуть

Оставить комментарий

Ваше имя
Ваш e-mail (не публикуется)
HTML не работает...
Введите цифры и буквы: