Всеобъемлющее число


Число π — одна из самых известных математических констант. Все с детства знают, что оно равно отношению длины окружности к её диаметру. Однако при всей простоте и интуитивной очевидности такого определения, оказывается, для того, чтобы чётко понять его смысл, нужно иметь определённые представления в том, что называют высшей математикой, а конкретно в теории пределов. Дело в том, что представления о длине окружности у большинства людей интуитивные. Можно, например, обернуть нитку вокруг круглого предмета и считать, что длина нитки, необходимая для одного оборота — это и есть длина окружности, но, конечно, для математиков такое определение не подходит. Математики не оперируют такими понятиями как «нитка» и «обернуть», им нужны определения в рамках их абсолютно чётких, но абстрактных, т.е. чисто умозрительных терминов. Было замечено, что если вписывать в окружность правильные многоугольники, постоянно увеличивая число их сторон, то их периметр будет стремится к одной постоянной величине и к той же самой величине будет стремится периметр описанных вокруг той же окружности многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Люди договорились именно эту величину считать длиной окружности. После того, как дано определение длине окружности, определить число π не составляет никакого труда.

Архимед в своё время, опираясь на такое представление о длине окружности, т.е. вычисляя периметры вписанных в окружность и описанных вокруг окружности многоугольников, вычислил это число довольно точно. Достигнутая им точность в нашей современной десятичной системе счисления составляет 3 значащие цифры, т.е. всем известные 3,14, что для того времени было выдающимся результатом.

Со времён Архимеда прошло много времени, углубились и представления о числе π: было обнаружено, что число это появляется в самых разных областях математики и физики, часто весьма неожиданно, там где, казалось бы, нет никакой речи об о кругах и окружностях; было найдено множество различных последовательностей и алгоритмов для быстрого вычисления числа π, благодаря которым и помощи компьютеров на сегодняшний день вычислено уже более десяти триллионов знаков числа π. Числу π посвящают произведения искусства, целые книги, праздники и т.д.

В чём же причина такой бешеной популярности этого числа? Думаю, что причин много. Одной из причин является некоторые весьма интересные свойства этого числа. Мне бы не хотелось тут говорить обо всех подобных свойствах, о которых можно говорить бесконечно, остановлюсь лишь на одном из самых интересных из них.

Все, думаю, знают, что число π иррационально, т.е. оно не представимо в виде отношения двух целых чисел. Для десятичной записи этого числа это означает, что число π нельзя записать конечным набором цифр и даже бесконечным, но повторяющимся (периодическим) набором таких цифр его тоже нельзя записать. Но этого мало. Можно, например, придумать такое иррациональное число: 0,101001000100001… В десятичной записи этого числа после каждой единицы идёт последовательность из нулей, длина которой постоянно увеличивается на один ноль. Ясно, что это число, как и число π иррационально, но одного беглого взгляда на эти два числа достаточно, чтобы увидеть принципиальное отличие между ними. Десятичная запись числа π очень похожа на последовательность случайных цифр, в то время, как в придуманном нами числе ясно видна достаточно чёткая и примитивная закономерность. Когда математики обнаружили этот удивительный факт, они решили проверить, действительно ли последовательность цифр так похожа на случайную. Ведь так просто этого не скажешь. Вдруг в ней существует какая-то скрытая от нас закономерность. Есть ли способ отличить случайную последовательность цифр от закономерной? Оказывается, такой способ есть. Когда мы кидаем монетку, у нас может выпасть что угодно и никогда мы не можем предсказать, что именно выпадет, но если кидать монетку очень долго, то можно обнаружить, что число выпадений орлов и решек будет примерно одинаковым. То же самое будет, если очень долго кидать игральный кубик (если, конечно, кубик честный) все стороны будут выпадать с примерно одинаковой частотой и чем дольше мы будем его кидать, тем точнее будут совпадать эти частоты. Не можем ли мы применить подобный принцип к числу π? Оказывается, можем. Можно, например, смотреть как часто в записи этого числа встречаются те или иные цифры и если все цифры встречаются с одинаковой частотой, то можно считать, что эта последовательность похожа на случайную. Хотя, внимательный взгляд тут же обнаружит слабость такого подхода. Никто же не будет считать случайной последовательность «01234567890123456789...» в которой будет постоянно повторяться последовательность цифр «0123456789», хотя в ней частота встречаемости всех цифр одинакова. Поэтому наше условие следует усилить. Потребуем, чтобы не просто каждая цифра встречалась так же часто, как и любая другая цифра, но и чтобы любая последовательность цифр встречалась так же часто, как и любая другая последовательность цифр такой же длины. Подобное свойство иррациональных чисел называется их нормальностью. К сожалению, нормальность числа π до сих пор не доказана, хотя изучение уже отрытых разрядов этого числа даёт все основания полагать, что число π нормально.

Факт нормальности числа π, если он будет когда-нибудь доказан, говорит о его потрясающих свойствах. Всем известно, что символы, в том числе символы русского и других алфавитов, могут быть зашифрованы последовательностью цифр. Мы постоянно сталкиваемся с такой шифровкой, возможно, сами того, не замечая, когда печатаем текст на компьютере. Для компьютера все наши буквы, которые мы видим на экране на самом деле всего лишь последовательность единиц и нулей. Аналогичным образом можно зашифровать символы текста и десятичными цифрами. А теперь представим себе, что десятичные разряды числа π — это какой-то зашифрованный текст. Гипотеза о нормальности числа π говорит о том, что текст любой длины, каким бы он ни был, рано или поздно встретится где-нибудь на просторах числа π. Это значит, что в числе π где-то есть вся «Война и мир» Толстого или Большая Советская Энциклопедия или любое другое произведение, которое написано или когда-либо будет написано. В числе π, если только оно нормально, есть всё — вся информация обо всём. Эта весьма красивая гипотеза, однако, мало что нам даёт. Даже если эта гипотеза верна, то вряд ли есть способ отделить полезную информацию, зашифрованную в числе π, от бесполезной. Фактически мы можем её найти только в том случае, если уже знаем, что именно мы ищем. Если же не знаем, то число π представляется нам просто как случайная последовательность цифр.
  • 14 января 2013, 14:30

Комментарии (0)

RSS свернуть / развернуть

Оставить комментарий

Ваше имя
Ваш e-mail (не публикуется)
HTML не работает...
Введите цифры и буквы: