Слово «парадокс» известно каждому. Однако не каждому известно, что значения этого слова в логике и в обыденной жизни несколько разнятся.

В логике под парадоксом понимается логически верное утверждение, доказывающее как свою истинность, так и свою ложность. Простейший пример такого парадокса — т.н. парадокс лжеца. Звучит он до примитивности просто: «Я лгу» (имеется в виду, лгу в данный момент, произнося эти слова). Если принять это утверждение за истину, значит, я действительно лгу, а значит, это утверждение является ложью. Если принять это утверждение за ложь, значит, я не лгу, а значит, это утверждение является истиной.

В обыденной жизни понятие парадокса гораздо прозаичней и тривиальней. Под этим слово обычно понимают некое суждение резко расходящееся с общепринятым мнением, либо нашей собственной интуицией. Подобных парадоксов можно привести великое множество. Особенно много их как раз в тех областях, понимание которых само связано с интуицией.

Одной из таких областей является теория вероятностей. Само понятие вероятности обычно оставляют без чёткого математического определения. Чисто интуитивно под случайным событием мы обычно понимаем некое событие, которое, в силу тех или иных причин, не можем заранее предугадать, а под вероятностью — как бы меру ожидаемости этого события. Вероятность 1/2, например, означает, что мы с одинаковым успехом можем ожидать, что данное событие произойдёт, как и то, что оно не произойдёт. Например, если мы кидаем монетку, это значит мы с одинаковым успехом можем рассчитывать на то, что выпадет орёл или что выпадет решка. Если вероятность близка к единице, это означает, что мы в какой-то степени можем положиться на то, что это событие произойдёт. Напротив, если вероятность близка к нулю, мы можем быть почти уверены, что это событие не произойдёт. Знать какое событие более ожидаемо, какое — менее очень важно, в тех случаях, когда мы чем-то рискуем, особенно, если мы делаем это постоянно. Дело в том, вероятность обладает одним замечательным свойством: для одного конкретного события она практически неопределима в рамках теории вероятности. Мы можем её только оценить, исходя из каких-то отвлечённых рассуждений. Например, если мы кидаем монету, мы не знаем, что она много раз переворачивается в воздухе, причём, посчитать количество переворотов не представляется возможным и нет никаких причин считать (если, конечно, стороны монеты почти одинаковы, центр тяжести никуда не смещён и т.д.), что монета упадёт скорее орлом, а не решкой, а не наоборот. Однако, когда речь идёт о большом числе событий, то тут, как ни странно, получается так, что частота встречаемости определённого события становится близкой к его вероятности. Поэтому, если рисковать один раз, то удача или неудача обычно зависит только от везения, но если заниматься этим постоянно (например, постоянно играть на бирже или в карточные игры (не считая случаев мухлежа)), тогда средний выигрыш будет уже зависеть от знания теории вероятности и умения применить эти знания на практике. Если кинуть монету один раз, то нельзя сказать, что выпал, например, орёл, потому что вероятность его выпадения равна 1/2. Он точно так же мог бы выпасть, если бы вероятность его выпадения равнялась 1/3 или даже 1/10 или 4/5. Но если кидать одну и ту же монету долгое время то можно заметить, что количество выпадений решек и орлов действительно примерно одинаково. Это свойство называется законом больших чисел. А теперь вопрос, какова будет вероятность выпадение решки, если до этого выпало 10 орлов? Большинство скажет, что вероятность увеличится и, скорее всего, выпадет решка, однако на самом деле это не так. Вероятность останется прежней. Мы ведь кидаем монету точно так же непредсказуемо, не зная, сколько раз она перевернётся. Почему мы должны ждать, что она только ради того, чтобы удовлетворить нашу интуицию, упадёт именно решкой? В таких случаях человек интуитивно пытается согласовать результат с законом больших чисел, и поскольку эти две вещи не согласуются, он безосновательно пытается подправить вероятность события, которая, на самом деле, никак не зависит от его желания и предыдущих результатов. Это простейший пример того, как интуиция нас подводит, когда речь идёт о вероятности.

Вот ещё один более сложный пример, названный парадоксом Монти Холла. Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козлы. Вы выбираете одну из дверей, после чего ведущий, открывает одну из оставшихся дверей. Ведущий всегда открывает дверь, за которой находится козёл. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать другую дверь. Вопрос: изменятся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? Большинство людей, которым впервые задают такой вопрос, отвечают, что шансы не изменятся, и неважно, измените вы свой выбор или не измените, вероятность выиграть автомобиль будет равна одной второй. Рассуждения этих людей ясны и понятны: после того, как ведущий открыл одну из дверей осталось ровно две двери. За каждой из них может находится автомобиль и мы не знаем за какой именно, следовательно, вероятность угадать нужную дверь 1/2, независимо от того, какую дверь мы выберем. Однако, это, кажущееся логичным рассуждение противоречит истинному решению этой задачи, которое говорит, что если мы изменим свой выбор, вероятность выиграть автомобиль повысится до 2/3, в то время, как если мы оставим выбор неизменным, вероятность выиграть автомобиль будет всего 1/3. Действительно, когда мы первый раз выбираем дверь, вероятность угадать всего 1/3, т.к. дверей всего три. Если мы будем продолжать настаивать на своём выборе, то вероятность эта никак не изменится: за выбранной дверью не появится волшебным образом автомобиль если изначально его там не было. Если мы настаиваем на своём выборе, это означает просто, что мы отказываемся делать выбор второй раз и соглашаемся на те шансы, которые были даны нам изначально. А теперь посмотрим, что будет, если мы изменим свой выбор. Если изначально мы выбрали дверь с козлом (а вероятность на это 2/3), то, поменяв свой выбор, мы абсолютно точно выиграем автомобиль, поскольку второго козла открыл ведущий, и мы уже не будем его выбирать. А проиграем мы только в том случае, если изначально выбрали дверь с автомобилем, но вероятность на это всего 1/3. Итак, если мы поменяли выбор, вероятность увеличивается до 2/3, если же нет, она составляет всего 1/3. Но как подобный результат согласовать с нашими рассуждениями о том, что выбирая из двух дверей одну, независимо от нашего выбора, мы обеспечиваем себе вероятность 1/2? Ошибочность такого рассуждения в том, что равенство вероятностей найти автомобиль за каждой из этих дверей предполагает равнозначность этих дверей, т.е. то, что нет никаких отличий между этими дверями, могущих изменить вероятность обнаружить автомобиль за одной из них. А, между тем, такие отличия есть и очень существенные. Одна из этих дверей закрыта только потому, что мы её выбрали на предыдущем шаге. Ведущий никогда не откроет дверь, которую мы выбрали, что бы за ней ни находилось. Что касается второй закрытой двери, то с вероятностью 2/3 она закрыта именно по той причине, что за ней находится автомобиль и у ведущего просто не осталось выбора кроме как оставить эту дверь закрытой.

Итак, причиной ошибочности наших рассуждений стало то, что мы не до конца прониклись самим понятием вероятности. Мы посчитали события равновероятными только на том основании, что мы делаем выбор из двух альтернатив, не оценив разницу между самими этими альтернативами. Наша интуиция часто даёт сбой, когда у нас нет достаточно чётких представлений о чём-то, поэтому не стоит всецело ей доверять. Иногда стоит проверять наши интуитивные представления разумом.